【已解決】 dx其實是一個對偶矢量場，是一個矢量（切矢量）到標量（函數）的映射。如何理解？
最佳答案 2025-02-10 20:40
要理解?dx?作為對偶矢量場的概念，我們需要從微分幾何和線性代數的角度來看。
在微分幾何中，切空間是定義在某個光滑流形上的每個點處的一個線性空間，包含了所有可能的切矢量。切矢量可以直觀地理解為在流形上“走”的方向和速率。
對偶空間（或余切空間）是與切空間對應的線性空間，其元素稱為對偶矢量（或余切矢量）。對偶矢量是線性映射，它將切矢量映射到實數。簡單來說，如果?V?是一個向量空間，那么其對偶空間?V由所有從?V?到實數域?R的線性映射組成。
在這個背景下，微分形式（如?dx）是對偶空間的一個重要概念。具體來說，dx?是一個線性映射，它將一個切矢量映射到實數。對于一個光滑函數?f，其微分?df?是一個 1-形式（即對偶矢量場），它在每一點上取一個切矢量并返回該方向上的導數。
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